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MATRICES

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij).

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por a_ij.

Matrices iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

TIPOS DE MATRICES :

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A ·  B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

TIPOS DE MATRICES CUADRADAS :

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · A^t = I.

OPERACIONES CON MATRICES:

Dadas dos matrices de la misma dimensión,

 A = (a_ij) y B= (b_ij), se define la matriz suma como:

A + B = (a_ij + b_ij)

La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Ejemplo 

Propiedades de la suma de matrices

 1.  Interna

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

 2.  Asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

 3.  Elemento neutro

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

 4.  Elemento opuesto

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

 5.  Conmutativa

PRODUCTO ESCALAR :

A + B = B + A

Dada una matriz A = (a_ij) y un número real k , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz de la misma dimensión que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

k · A = (k · a_ij)

PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

A_{m x n} x B_{n x p} = C_{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

 1  Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

 2  Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

 3  Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

 4  No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

MATRIZ INVERSA:

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

A · A⁻¹  = A⁻¹ · A = I

Propiedades

 1  (A · B)⁻¹  = B⁻¹ · A⁻¹

 2  (A⁻¹)⁻¹  = A

 3  (k · A)⁻¹  = k⁻¹ · A⁻¹

 4  (A^t)⁻¹  = (A⁻¹)^t

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